Q30 Matemática  (IMO Shortlist 2020)

Determine todas as funções $f$ definidas no conjunto de todos os inteiros positivos e tomando valores inteiros não negativos, satisfazendo as três condições: $(i)$ $f(n)\ne 0$ para pelo menos um $n$; $(ii)$ $f(xy)=f(x)+f(y)$ para todos os inteiros positivos $x$ e $y$; $(iii)$ existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que $f(k)=f(nk)$ para todo $k<n$.