Q29 Matemática (IMO Shortlist 2020)

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Para qualquer primo ímpar $p$ e qualquer inteiro $n,$ , seja $d_{p} (n) \in {0, 1, \dots, p - 1}$ o resto quando $n$ é dividido por $p .$ Dizemos que $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots)$ é uma sequência p, se $a_{0}$ é um inteiro positivo coprimo para $p,$ e $a_{n + 1} = a_{n} + d_{p} (a_{n})$ para $n ⩾ 0.$ (a) Existem infinitos primos $p$ para os quais existem $p$ -sequências $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots)$ e $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, \dots)$ tal que $a_{n} > b_{n}$ para infinitos $n,$ e $b_{n} > a_{n}$ para infinitos $n ?$ (b) Existem infinitos primos $p$ para os quais existem $p$ -seqüencia $(a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots)$ e $(b_{0}, b_{1}, b_{2}, \dots)$ tais que $a_{0} < b_{0},$ mas $a_{n} > b_{n}$ para todo $n ⩾ 1 ?$ Reino Unido