Q25 Matemática  (IMO Shortlist 2020)

Prove que existe uma constante positiva $c$ tal que a seguinte afirmação é verdadeira: Considere um inteiro $n>1$, e um conjunto $\mathcal{S}$ de $n$ pontos no plano tal que a distância entre dois diferentes pontos em $\mathcal{S}$ é pelo menos 1. Segue que existe uma linha $\ell$ separando $\mathcal{S}$ tal que a distância de qualquer ponto de $\mathcal{S}$ a $\ell$ é de menos $c{n}^{-1/3}$. (Uma linha $\ell$ separa um conjunto de pontos S se algum segmento que une dois pontos em $\mathcal{S}$ cruza $\ell$.) Nota. Resultados mais fracos com $c{n}^{-1/3}$ substituído por $c{n}^{-\alpha }$ podem receber pontos dependendo do valor da constante $\alpha >1/3$. Proposto por Ting-Feng Lin e Hung-Hsun Hans Yu, Taiwan