Q16 Matemática  (IMO Shortlist 2020)

Os jogadores $A$ e $B$ jogam um jogo em um quadro-negro que contém inicialmente 2020 cópias do número 1 . Em cada rodada, o jogador $A$ apaga dois números $x$ e $y$ do quadro-negro, e então o jogador $B$ escreve um dos números $x+y$ e $|xy|$ no quadro-negro. O jogo termina assim que, ao final de alguma rodada, um dos seguintes ocorrer: $(1)$ um dos números no quadro-negro for maior que a soma de todos os outros números; $(2)$ existem apenas zeros no quadro-negro. O jogador $B$ deve então dar tantos biscoitos ao jogador $A$ quantos forem os números no quadro-negro. O jogador $A$ quer receber o máximo de biscoitos possível, enquanto o jogador $B$ quer dar o mínimo possível. Determine o número de cookies que $A$ recebe se ambos os jogadores jogarem de forma otimizada.