Q15 Matemática  (IMO Shortlist 2020)

Considere qualquer tabela retangular com um número finito de linhas e colunas, com um número real $a(r,c)$ na célula na linha $r$ e na coluna $c$. Um par $(R,C)$, onde $R$ é um conjunto de linhas e $C$ um conjunto de colunas, é chamado de par sela se as duas condições a seguir forem satisfeitas: $(i)$ Para cada linha $r^{\prime }$, existe $r\in R$ tal que $a(r,c)⩾a\left(r^{\prime },c\right)$ para todo $c\in C$; $(ii)$ Para cada coluna $c^{\prime }$, existe $c\in C$ tal que $a(r,c)⩽a\left(r,c^{\prime }\right)$ para todos os $r\in R$. Um par de sela $(R,C)$ é chamado de par mínimo se para cada par de sela $\left(R^{\prime },C^{\prime }\right)$ com $R^{\prime }subseteqR$ e $C^{\prime }\subseteq C$, temos $R^{\prime }=R$ e $C^{\prime }=C$. Prove que quaisquer dois pares mínimos contêm o mesmo número de linhas.