Q13 Matemática  (IMO Shortlist 2020)

Seja $p$ um primo ímpar e coloque $N=\frac{1}{4}(p^3-p)-1.$ Os números $1,2,\dots ,N$ são pintados arbitrariamente em duas cores , vermelho e azul. Para qualquer inteiro positivo $n⩽N,$ denota $r(n)$ a fração de inteiros $\{1,2,\dots ,n\}$ que são vermelhos. Prove que existe um inteiro positivo $a\in \{1,2,\dots ,p-1\}$ tal que $r(n)\ne a/p$ para todo $n=1,2,\dots ,N.$ Holanda