Q2 Matemática  (IMO Shortlist 2020)

Seja $\mathcal{A}$ o conjunto de todos os polinômios em três variáveis $x,y,z$ com coeficientes inteiros. Seja $\mathcal{B}$ o subconjunto de $\mathcal{A}$ formado por todos os polinômios que podem ser expressos como $$\begin{array}{r}(x+y+z)P(x,y,z)+(xy+yz+zx)Q(x,y,z)+xyzR(x,y,z)\end{array}$$com $P,Q,R\in \mathcal{A}$. Encontre o menor inteiro não negativo $n$ tal que $x^i{y}^j{z}^k\in \mathcal{B}$ para todos os inteiros não negativos $i,j,k$ satisfazendo $i+j+k\ge n$.