Q16 Matemática  (IMO Shortlist 2019)

Para quaisquer dois números reais diferentes $x$ e $y$, definimos $D(x,y)$ como o inteiro único $d$ que satisfaz $2^d\le |xy|<2^{d+1}$. Dado um conjunto de reais $\mathcal{F}$, e um elemento $x\in \mathcal{F}$, dizemos que as escalas de $x$ em $\mathcal{F}$ são os valores de $D(x,y)$ para $y\in \mathcal{F}$ com $x\ne y$. Seja $k$ um dado inteiro positivo. Suponha que cada membro $x$ de $\mathcal{F}$ tenha no máximo $k$ escalas diferentes em $\mathcal{F}$ (observe que essas escalas podem depender de $x$). Qual é o tamanho máximo possível de $\mathcal{F}$?