Q7 Matemática  (IMO Shortlist 2019)

Seja $\mathbb{Z}$ o conjunto dos inteiros. Consideramos as funções $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ satisfazendo $$f\left(f(x+y)+y\right)=f\left(f(x)+y\right)$$for todos os inteiros $x$ e $y$. Para tal função, dizemos que um inteiro $v$ é f-raro se o conjunto $$X_v=\{x\in \mathbb{Z}:f(x)=v\}$$é finito e não vazio. (a) Prove que existe uma função $f$ para a qual existe um inteiro $f$-raro. (b) Prove que nenhuma função $f$ pode ter mais de um inteiro $f$-raro. Holanda