Q4 Matemática  (Iranian Geometry Olympiad 2020)

Seja $P$ um ponto arbitrário no interior do triângulo $△ABC$. As linhas $\overline{BP}$ e $\overline{CP}$ cruzam $\overline{AC}$ e $\overline{AB}$ em $E$ e $F$, respectivamente. Sejam $K$ e $L$ os pontos médios dos segmentos $BF$ e $CE$, respectivamente. Deixe as linhas passando por $L$ e $K$ paralelas a $\overline{CF}$ e $\overline{BE}$ cruzando $\overline{BC}$ em $S$ e $T$, respectivamente; além disso, denotam por $M$ e $N$ o reflexo de $S$ e $T$ sobre os pontos $L$ e $K$, respectivamente. Prove que como $P$ se move no interior do triângulo $△ABC$, a reta $\overline{MN}$ passa por um ponto fixo. Proposta por Ali Zamani