Q14 Matemática  (Iranian Geometry Olympiad 2019)

Dado um triângulo não isósceles agudo $ABC$ com circunferência circunscrita $\Gamma$. $M$ é o ponto médio do segmento $BC$ e $N$ é o ponto médio do arco $BC$ de $\Gamma$ (aquele que não contém $A$). $X$ e $Y$ são pontos em $\Gamma$ tais que $BX\parallel CY\parallel AM$. Suponha que exista um ponto $Z$ no segmento $BC$ tal que a circunferência do triângulo $XYZ$ seja tangente a $BC$. Seja $\omega$ a circunferência do triângulo $ZMN$. A linha $AM$ encontra $\omega$ pela segunda vez em $P$. Seja $K$ um ponto em $\omega$ tal que $KN\parallel AM$, ${\omega }_b$ seja um círculo que passa por $B$, $X$ e tangentes a $BC$ e ${\omega }_c$ seja um círculo que passa por $C$, $Y$ e tangentes a $BC$. Prove que o círculo de centro $K$ e raio $KP$ é tangente a 3 círculos ${\omega }_b$, ${\omega }_c$ e $\Gamma$. Proposto por Tran Quan - Vietnã