Q11 Matemática  (Iranian Geometry Olympiad 2018)

Dois círculos ${\omega }_1,{\omega }_2$ se cruzam nos pontos $A,B$. Seja $PQ$ uma reta tangente comum a esses dois círculos com $P\in {\omega }_1$ e $Q\in {\omega }_2$. Um ponto arbitrário $X$ está em ${\omega }_1$. A linha $AX$ cruza ${\omega }_2$ pela segunda vez em $Y$ . O ponto $Y^{\prime }\ne Y$ está em ${\omega }_2$ tal que $QY=Q{Y}^{\prime }$. A linha $Y^{\prime }B$ cruza ${\omega }_1$ pela segunda vez em $X^{\prime }$. Prove que $PX=P{X}^{\prime }$. Proposto por Morteza Saghafian