Q14 Matemática  (Iranian Geometry Olympiad 2016)

Em um quadrilátero convexo $ABCD$, as linhas $AB$ e $CD$ se encontram no ponto $E$ e as linhas $AD$ e $BC$ se encontram no ponto $F$. Seja $P$ o ponto de intersecção das diagonais $AC$ e $BD$. Suponha que ${\omega }_1$ seja um círculo passando por $D$ e tangente a $AC$ em $P$. Suponha também que ${\omega }_2$ seja uma circunferência passando por $C$ e tangente a $BD$ em $P$. Seja $X$ o ponto de interseção de ${\omega }_1$ e $AD$, e $Y$ o ponto de interseção de ${\omega }_2$ e $BC$. Suponha que os círculos ${\omega }_1$ e ${\omega }_2$ se cruzem em $Q$ pela segunda vez. Prove que a perpendicular de $P$ à reta $EF$ passa pelo circuncentro do triângulo $XQY$ . Proposto por Iman Maghsoudi