Q3 Matemática  (International Olympiad of Metropolises 2021)

Sejam $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($n\ge 2$) números reais não negativos cuja soma é $\frac{n}{2}$. Para cada $i=1,\dots ,n$ defina $$b_i=a_i+a_i{a}_{i+1}+a_i{a}_{i+1}{a}_{i+2}+\cdots +a_i{a}_{i+1}\cdots a_{i+n-2}+2a_i{a}_{i+1}\cdots a_{i+n-1}$$onde $a_{j+n}=a_j$ para cada $j$. Prove que $b_i\ge 1$ vale para pelo menos um índice $i$.