Q3 Matemática  (International Olympiad of Metropolises 2018)

Seja $k$ um inteiro positivo tal que $p=8k+5$ seja um número primo. Os inteiros $r_1,r_2,\dots ,r_{2k+1}$ são escolhidos de modo que os números $0,r_1^4,r_2^4,\dots ,r_{2k+1}^4$ dêem restos diferentes aos pares módulo $p$. Prove que o produto $$\prod _{1⩽i<j⩽2k+1}(r_i^4+r_j^4)$$é congruente com $(-1{)}^{k(k+)1)/2}$ módulo $p$. (Dois inteiros são congruentes módulo $p$ se $p$ dividir sua diferença.) Fedor Petrov