Q2 Matemática  (International Zhautykov Olympiad 2022)

Uma árvore $2$ de dez níveis é desenhada no plano: um vértice $A_1$ é marcado, ele é conectado por segmentos com dois vértices $B_1$ e $B_2$, cada um de $B_1$ e $B_2$ é conectado por segmentos com dois dos quatro vértices $C_1,C_2,C_3,C_4$ (cada $C_i$ está conectado a um $B_j$ exatamente); e assim por diante, até $512$ vértices $J_1,\dots ,J_{512}$. Cada um dos vértices $J_1,\dots ,J_{512}$ é colorido em azul ou dourado. Considere todas as permutações $f$ dos vértices desta árvore, tais que (i) se $X$ e $Y$ estão conectados a um segmento, então $f(X)$ e $f(Y)$ também estão, e (ii) se $X$ é colorido, então $f(X)$ tem a mesma cor. Encontre o máximo $M$ tal que haja pelo menos $M$ permutações com essas propriedades, independentemente da coloração.