Q3 Matemática  (International Zhautykov Olympiad 2021)

Seja $n\ge 2$ um inteiro. Elwyn recebe uma tabela $n\times n$ preenchida com números reais (cada célula da tabela contém exatamente um número). Definimos um conjunto torre como um conjunto de $n$ células da tabela situadas em $n$ linhas distintas e também em n colunas distintas. Suponha que, para cada conjunto de torres, a soma de $n$ números nas células que formam o conjunto seja não negativa. Por um movimento, Elwyn escolhe uma linha, uma coluna e um número real $a,$ e então ele adiciona $a$ a cada número na linha escolhida e subtrai $a$ de cada número na coluna escolhida (assim, o número na interseção da linha e coluna escolhida não muda). Prove que Elwyn pode realizar uma sequência de movimentos para que todos os números da tabela se tornem não negativos.