Q25 Matemática  (IMO Shortlist 2018)

Seja $a_1$, $a_2$, $\dots$ uma sequência infinita de inteiros positivos. Suponha que exista um inteiro $N>1$ tal que, para cada $n\ge N$, o número $$\frac{a_1}{a_2}+\frac{a_2}{a_3}+\cdots +\frac{a_{n-1}}{a_n}+\frac{a_n}{a_1}$$é um número inteiro. Prove que existe um inteiro positivo $M$ tal que $a_m=a_{m+1}$ para todo $m\ge M$. Proposto por Bayarmagnai Gombodorj, Mongólia