Q32 Matemática  (IMO Shortlist 2017)

Seja $p$ um número primo ímpar e ${\mathbb{Z}}_{>0}$ o conjunto dos inteiros positivos. Suponha que uma função $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\times {\mathbb{Z}}_{>0}\to \{0,1\}$ satisfaça as seguintes propriedades: $f(1,1)=0$. $f(a,b)+f(b,a)=1$ para qualquer par de inteiros positivos relativamente primos $(a,b)$ não ambos iguais a 1; $f(a+b,b)=f(a,b)$ para qualquer par de inteiros positivos relativamente primos $(a,b)$. Prove que $$\sum _{n=1}^{p-1}f(n^2,p)⩾\sqrt{2p}-2.$$