Q26 Matemática  (IMO Shortlist 2017)

Seja $p\ge 2$ um número primo. Eduardo e Fernando jogam o seguinte jogo fazendo lances alternadamente: em cada lance, o jogador atual escolhe um índice $i$ no conjunto $\{0,1,2,\dots ,p-1\}$ que não foi escolhido antes por qualquer um dos dois jogadores e então escolhe um elemento $a_i$ do conjunto $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$. Eduardo tem o primeiro movimento. O jogo termina depois que todos os índices forem escolhidos. Então o seguinte número é calculado: $$M=a_0+a_{1}10+a_{2}10^2+\cdots +a_{p-1}10^{p-1}=\sum _{i=0}^{p-1}{a}_i.10^i$$. O objetivo de Eduardo é fazer $M$ divisível por $p$, e o objetivo de Fernando é evitar isso. Prove que Eduardo tem uma estratégia vencedora. Proposto por Amine Natik, Marrocos