Q15 Matemática  (IMO Shortlist 2017)

Para qualquer conjunto finito $X$ e $Y$ de inteiros positivos, denote por $f_X(k)$ o $k^{\text{th}}$ menor inteiro positivo que não está em $X$, e seja $$X\ast Y=X\cup \{f_X(y):y\in Y\}.$$Seja $A$ um conjunto de $a>0$ inteiros positivos e seja $B$ um conjunto de $b>0$ inteiros positivos. Prove que se $A\ast B=B\ast A$, então $$\underset{\text{ A aparece b vezes }}{\underbrace{A\ast (A\ast \cdots (A\ast (A\ast A))\cdots )}}=\underset{\text{ B aparece a times}}{\underbrace{B\ast (B\ast \cdots (B\ast (B\ast B))\cdots )}}.$$ Proposto por Alex Zhai, Estados Unidos