Q14 Matemática  (IMO Shortlist 2017)

Seja $n>1$ um dado inteiro. Um cubo $n\times n\times n$ é composto de cubos unitários $n^3$. Cada cubo unitário é pintado com uma cor. Para cada caixa $n\times n\times 1$ composta por cubos unitários $n^2$ (em qualquer uma das três orientações possíveis), consideramos o conjunto de cores presentes nessa caixa (cada cor é listada apenas uma vez). Dessa forma, obtemos $3n$ conjuntos de cores, divididos em três grupos de acordo com a orientação. Acontece que para cada conjunto em qualquer grupo, o mesmo conjunto aparece em ambos os outros grupos. Determine, em termos de $n$, o número máximo possível de cores presentes.