Q3 Matemática  (IMO Shortlist 2017)

Seja $S$ um conjunto finito e seja $\mathcal{A}$ o conjunto de todas as funções de $S$ a $S$. Seja $f$ um elemento de $\mathcal{A}$, e seja $T=f(S)$ a imagem de $S$ sob $f$. Suponha que $f\circ g\circ f\ne g\circ f\circ g$ para cada $g$ em $\mathcal{A}$ com $g\ne f$. Mostre que $f(T)=T$.