Q2 Matemática  (IMO Shortlist 2017)

Seja $q$ um número real. Gugu tem um guardanapo com dez números reais distintos escritos nele, e ele escreve as seguintes três linhas de números reais no quadro-negro: Na primeira linha, Gugu anota cada número da forma $ab$, onde $a$ e $b$ são dois números (não necessariamente distintos) em seu guardanapo. Na segunda linha, Gugu anota cada número da forma $qab$, onde $a$ e $b$ são dois números (não necessariamente distintos) da primeira linha. Na terceira linha, Gugu anota cada número da forma $a^2+b^2-c^2-d^2$, onde $a,b,c,d$ são quatro (não necessariamente distintos) números de a primeira linha. Determine todos os valores de $q$ de forma que, independente dos números no guardanapo de Gugu, todo número da segunda linha seja também um número da terceira linha.