Q19 Matemática  (IMO Shortlist 2016)

Sejam $B=(-1,0)$ e $C=(1,0)$ pontos fixos no plano de coordenadas. Um subconjunto não vazio e limitado $S$ do plano é considerado bom se $\text{(i)}$ existe um ponto $T$ em $S$ tal que para cada ponto $Q$ em $S$, o segmento $TQ$ está inteiramente em $S$; e $\text{(ii)}$ para qualquer triângulo $P_1{P}_2{P}_3$, existe um único ponto $A$ em $S$ e uma permutação $\sigma$ dos índices $\{1,2,3\}$ para os quais os triângulos $ABC$ e $P_{\sigma (1)}{P}_{\sigma (2)}{P}_{\sigma (3)}$ são semelhantes. Prove que existem dois subconjuntos agradáveis distintos $S$ e $S^{\prime }$ do conjunto $\{(x,y):x\ge 0,y\ge 0\}$ tal que se $A\in S$ e $A^{\prime }\in S^{\prime }$ são as únicas escolhas de pontos em $\text{(ii)}$, então o produto $BA\cdot B{A}^{\prime }$ é uma constante independente do triângulo $P_1{P}_2{P}_3$.