Q12 Matemática  (IMO Shortlist 2016)

Encontre todos os inteiros $n$ para os quais cada célula da tabela $n\times n$ pode ser preenchida com uma das letras $I,M$ e $O$ de tal forma que: em cada linha e em cada coluna, um terço das entradas são $I$, um terço é $M$ e um terço é $O$; e em qualquer diagonal, se o número de entradas na diagonal for um múltiplo de três, então um terço das entradas é $I$, um terço é $M$ e um terço é $O$. Observação. As linhas e colunas de uma tabela $n\times n$ são rotuladas de $1$ a $n$ em uma ordem natural. Assim, cada célula corresponde a um par de inteiro positivo $(i,j)$ com $1\le i,j\le n$. Para $n>1$, a mesa tem diagonais $4n-2$ de dois tipos. Uma diagonal de primeiro tipo consiste em todas as células $(i,j)$ para as quais $i+j$ é uma constante, e a diagonal deste segundo tipo consiste em todas as células $(i,j)$ para as quais $ij$ é constante .