Q5 Matemática  (IMO Shortlist 2016)

Considere frações $\frac{a}{b}$ onde $a$ e $b$ são inteiros positivos. (a) Prove que para todo inteiro positivo $n$ existe uma fração $\frac{a}{b}$ tal que $\sqrt{n}\le \frac{a}{b}\le \sqrt{n+1}$ e $b\le \sqrt{n}+1$. (b) Mostre que existem infinitos inteiros positivos $n$ tais que nenhuma fração $\frac{a}{b}$ satisfaz $\sqrt{n}\le \frac{a}{b}\le \sqrt{n+1}$ e $b\le \sqrt{n}$.