Q27 Matemática  (IMO Shortlist 2015)

Seja ${\mathbb{Z}}_{>0}$ o conjunto de inteiros positivos. Considere uma função $f:{\mathbb{Z}}_{>0}\to {\mathbb{Z}}_{>0}$. Para qualquer $m,n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$ escrevemos $f^n(m)=\underset{n}{\underbrace{f(f(\dots f}}(m)\dots ))$. Suponha que $f$ tenha as duas propriedades a seguir: (i) se $m,n\in {\mathbb{Z}}_{>0}$, então $\frac{f^n(m)-m}{n}\in {\mathbb{Z}}_{>0}$; (ii) O conjunto ${\mathbb{Z}}_{>0}\setminus \{f(n)\mid n\in {\mathbb{Z}}_{>0}\}$ é finito. Prove que a sequência $f(1)-1,f(2)-2,f(3)-3,\dots$ é periódica. Proposto por Ang Jie Jun, Cingapura