Q25 Matemática  (IMO Shortlist 2015)

Suponha que $a_0,a_1,\cdots$ e $b_0,b_1,\cdots$ sejam duas sequências de inteiros positivos tais que $a_0,b_0\ge 2$ e $$a_{n+1}=\gcd (a_n,b_n)+1,b_{n+1}=\mathrm{lcm}(a_n,b_n)-1.$$Mostre que a sequência $a_n$ é eventualmente periódica; em outras palavras, existem inteiros $N\ge 0$ e $t>0$ tais que $a_{n+t}=a_n$ para todo $n\ge N$.