Q28 Matemática (IMO Shortlist 2014)

28 | IMO Shortlist | 2014 | Matemática

Sejam $a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ inteiros positivos coprimos par a par com $a_{1}$ sendo primos e $a_{1} \geq n + 2$ . No segmento $I = [0, a_{1} a_{2} \dots a_{n}]$ da reta real, marque todos os inteiros que são divisíveis por pelo menos um dos números $a_{1}, \dots, a_{n}$ . Esses pontos dividem $I$ em vários segmentos menores. Prove que a soma dos quadrados dos comprimentos desses segmentos é divisível por $a_{1}$ . Proposto pela Sérvia