Q13 Matemática  (IMO Shortlist 2014)

Seja $M$ um conjunto de $n\ge 4$ pontos no plano, três dos quais não são colineares. Inicialmente, esses pontos são conectados com segmentos $n$, de modo que cada ponto em $M$ é o ponto final de exatamente dois segmentos. Então, a cada passo, pode-se escolher dois segmentos $AB$ e $CD$ compartilhando um ponto interior comum e substituí-los pelos segmentos $AC$ e $BD$ se nenhum deles estiver presente neste momento. Prove que é impossível realizar $n^3/4$ ou mais desses movimentos. Proposto por Vladislav Volkov, Rússia