Q12 Matemática  (IMO Shortlist 2014)

Recebemos um baralho infinito de cartas, cada uma com um número real. Para cada número real $x$, há exatamente uma carta no baralho que tem $x$ escrito nela. Agora, dois jogadores compram conjuntos separados de $A$ e $B$ de $100$ cada um deste baralho. Gostaríamos de definir uma regra que declare um deles vencedor. Esta regra deve satisfazer as seguintes condições: 1. O vencedor depende apenas da ordem relativa das cartas de $200$: se as cartas forem colocadas em ordem crescente viradas para baixo e nos for dito qual carta pertence a qual jogador, mas não quais números estão escritos neles, ainda podemos decidir o vencedor. 2. Se escrevermos os elementos de ambos os conjuntos em ordem crescente como $A=\{a_1,a_2,\dots ,a_{100}\}$ e $B=\{b_1,b_2,\dots ,b_{100}\}$ e $a_i>b_i$ para todos os $i$, então $A$ vence $B$. 3. Se três jogadores tirarem três sets separados $A,B,C$ do baralho, $A$ vence $B$ e $B$ vence $C$, então $A$ também vence $C$. Quantas maneiras existem para definir tal regra? Aqui, consideramos duas regras como diferentes se existem dois conjuntos $A$ e $B$ tais que $A$ vence $B$ de acordo com uma regra, mas $B$ vence $A$ de acordo com a outra. Proposto por Ilya Bogdanov, Rússia