Q8 Matemática  (IMO Shortlist 2014)

Temos folhas de papel de $2^m$, com o número $1$ escrito em cada uma delas. Realizamos a seguinte operação. Em cada passo escolhemos duas folhas distintas; se os números nas duas folhas forem $a$ e $b$, então apagamos esses números e escrevemos o número $a+b$ em ambas as folhas. Prove que após $m{2}^{m-1}$ passos, a soma dos números em todas as folhas é de pelo menos $4^m$ . Proposto por Abbas Mehrabian, Irã