Q3 Matemática  (IMO Shortlist 2014)

Para uma sequência $x_1,x_2,\dots ,x_n$ de números reais, definimos seu $\text{price}$ como $$\underset{1\le i\le n}{\max }|x_1+\cdots +x_i|.$$ Dados $n$ números reais, Dave e George querem organizá-los em uma sequência com um preço baixo. O Diligent Dave verifica todas as formas possíveis e encontra o preço mínimo possível $D$. O ganancioso George, por outro lado, escolhe $x_1$ de modo que $|x_1|$ seja o menor possível; entre os números restantes, ele escolhe $x_2$ tal que $|x_1+x_2|$ seja o menor possível, e assim por diante. Assim, na etapa $i$-ésima ele escolhe $x_i$ entre os números restantes de forma a minimizar o valor de $|x_1+x_2+\cdots x_i|$. Em cada etapa, se vários números fornecerem o mesmo valor, George escolhe um aleatoriamente. Finalmente ele consegue uma sequência com preço $G$. Encontre a menor constante possível $c$ tal que para cada inteiro positivo $n$, para cada coleção de $n$ números reais e para cada sequência possível que George possa obter, os valores resultantes satisfaçam a desigualdade $G\le cD$ . Proposta pela Geórgia