Q2 Matemática  (IMO Shortlist 2014)

Defina a função $f:(0,1)\to (0,1)$ por $$f(x)=\{\begin{array}{lr}x+\frac{1}{2}& \text{if }x<\frac{1}{2}\\ x^2& \text{if}x\ge \frac{1}{2}\end{array}$$ Sejam $a$ e $b$ dois números reais tais que $0<a<b<1$. Definimos as sequências $a_n$ e $b_n$ por $a_0=a,b_0=b$ e $a_n=f(a_{n-1})$, $b_n=f(b_{n-1})$ para $n>0$. Mostre que existe um inteiro positivo $n$ tal que $$(a_n-a_{n-1})(b_n-b_{n-1})<0.$$ Proposta pela Dinamarca