Q25 Matemática  (IMO Shortlist 2013)

Corrija um inteiro $k>2$. Dois jogadores, chamados Ana e Banana, jogam o seguinte jogo de números. Inicialmente, algum inteiro $n\ge k$ é escrito no quadro-negro. Em seguida, eles fazem movimentos alternadamente, com Ana começando. Um jogador fazendo uma jogada apaga o número $m$ que acabou de ser escrito no quadro-negro e o substitui por algum número $m^{\prime }$ com $k\le m^{\prime }<m$ que é primo de $m$. O primeiro jogador que não puder mais se mover perde. Um inteiro $n\ge k$ é dito bom se Banana tem uma estratégia vencedora quando o número inicial é $n$, e ruim caso contrário. Considere dois inteiros $n,n^{\prime }\ge k$ com a propriedade de que cada número primo $p\le k$ divide $n$ se e somente se ele divide $n^{\prime }$. Prove que tanto $n$ quanto $n^{\prime }$ são bons ou ambos são ruins.