Q10 Matemática  (IMO Shortlist 2013)

Seja $n$ um inteiro positivo e seja $A$ um subconjunto de $\{1,\cdots ,n\}$. Uma partição $A$ de $n$ em partes $k$ é uma representação de n como uma soma $n=a_1+\cdots +a_k$, onde as partes $a_1,\cdots ,a_k$ pertencem a $A$ e não são necessariamente distintos. O número de partes diferentes em tal partição é o número de elementos (distintos) no conjunto $\{a_1,a_2,\cdots ,a_k\}$. Dizemos que uma partição $A$ de $n$ em partes $k$ é ótima se não houver uma partição $A$ de $n$ em partes $r$ com $r<k$. Prove que qualquer partição $A$ ótima de $n$ contém no máximo $\sqrt[3]{6n}$ partes diferentes.