Q3 Matemática  (IMO Shortlist 2013)

Seja ${\mathbb{Q}}_{>0}$ o conjunto de todos os números racionais positivos. Seja $f:{\mathbb{Q}}_{>0}\to \mathbb{R}$ uma função que satisfaça as três condições a seguir: (i) para todo $x,y\in {\mathbb{Q}}_{>0}$, temos $f(x)f(y)\ge f(xy)$; (ii) para todo $x,y\in {\mathbb{Q}}_{>0}$, temos $f(x+y)\ge f(x)+f(y)$; (iii) existe um número racional $a>1$ tal que $f(a)=a$. Prove que $f(x)=x$ para todo $x\in {\mathbb{Q}}_{>0}$. Proposto pela Bulgária