Q22 Matemática  (IMO Shortlist 2012)

Seja $ABC$ um triângulo com circuncírculo $\omega$ e $\ell$ uma linha sem pontos comuns com $\omega$. Denote por $P$ o pé da perpendicular do centro de $\omega$ a $\ell$. As linhas laterais $BC,CA,AB$ interceptam $\ell$ nos pontos $X,Y,Z$ diferentes de $P$. Prove que as circunferências dos triângulos $AXP$, $BYP$ e $CZP$ têm um ponto comum diferente de $P$ ou são tangentes entre si em $P$. Proposto por Cosmin Pohoata, Romênia