Q15 Matemática  (IMO Shortlist 2012)

Dado o triângulo $ABC$ o ponto $J$ é o centro do círculo oposto ao vértice $A.$ Este círculo é tangente ao lado $BC$ em $M$, e às retas $AB$ e $AC$ em $K$ e $L$, respectivamente. As linhas $LM$ e $BJ$ se encontram em $F$, e as linhas $KM$ e $CJ$ se encontram em $G.$ Seja $S$ o ponto de interseção das linhas $AF$ e $BC$ , e seja $T$ o ponto de intersecção das retas $AG$ e $BC.$ Prove que $M$ é o ponto médio de $ST.$ (O círculo de $ABC$ oposto ao vértice $A$ é o círculo que é tangente ao segmento de reta $BC$, ao raio $AB$ além de $B$ e ao raio $AC$ além de $C$.) Proposto por Evangelos Psychas, Grécia