Q12 Matemática  (IMO Shortlist 2012)

As colunas e a linha de um tabuleiro quadrado $3n\times 3n$ são numeradas $1,2,\dots ,3n$. Cada quadrado $(x,y)$ com $1\le x,y\le 3n$ é colorido como aspargo, bizâncio ou citrino conforme o módulo $3$ restante de $x+y$ é $0,1$ ou $2$ respectivamente. Uma ficha colorida de espargos, bizâncio ou citrino é colocada em cada quadrado, de modo que haja fichas de $3n^2$ de cada cor. Suponha que se possa permutar as fichas de modo que cada ficha seja movida para uma distância de no máximo $d$ de sua posição original, cada ficha de aspargo substitui uma ficha de bizâncio, cada ficha de bizâncio substitui uma ficha de citrino e cada ficha de citrino substitui uma ficha de aspargo símbolo. Prove que é possível permutar as fichas de modo que cada ficha seja movida a uma distância de no máximo $d+2$ de sua posição original, e cada quadrado contenha uma ficha da mesma cor do quadrado.