Q7 Matemática  (IMO Shortlist 2012)

Dizemos que uma função $f:{\mathbb{R}}^k\to \mathbb{R}$ é um metapolinômio se, para alguns inteiros positivos $m$ e $n$, ela pode ser representada na forma $$f(x_1,\cdots ,x_k)=\underset{i=1,\cdots ,m}{\max }\underset{j=1,\cdots ,n}{\min }{P}_{i,j}(x_1,\cdots ,x_k),$$ onde $P_{i,j}$ são polinômios multivariados. Prove que o produto de dois metapolinômios também é um metapolinômio.