Q6 Matemática  (IMO Shortlist 2012)

Seja $f:\mathbb{N}\to \mathbb{N}$ uma função, e seja $f^m$ $f$ aplicado $m$ vezes. Suponha que para cada $n\in \mathbb{N}$ exista um $k\in \mathbb{N}$ tal que $f^{2k}(n)=n+k$, e seja $k_n$ o menor desses $k$. Prove que a sequência $k_1,k_2,\dots$ é ilimitada. Proposto por Palmer Mebane, Estados Unidos