Q2 Matemática  (IMO Shortlist 2012)

Sejam $\mathbb{Z}$ e $\mathbb{Q}$ os conjuntos de inteiros e racionais respectivamente. a) Existe uma partição de $\mathbb{Z}$ em três subconjuntos não vazios $A,B,C$ tais que os conjuntos $A+B,B+C,C+A$ sejam disjuntos? b) Existe uma partição de $\mathbb{Q}$ em três subconjuntos não vazios $A,B,C$ tais que os conjuntos $A+B,B+C,C+A$ sejam disjuntos? Aqui $X+Y$ denota o conjunto $\{x+y:x\in X,y\in Y\}$, para $X,Y\subseteq \mathbb{Z}$ e para $X,Y\subseteq \mathbb{Q}$.