Q1 Matemática  (IMO Shortlist 2012)

Encontre todas as funções $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ tais que, para todos os inteiros $a,b,c$ que satisfazem $a+b+c=0$, a seguinte igualdade é válida: $$f(a{)}^2+f(b{)}^2+f(c{)}^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a).$$ (Aqui $\mathbb{Z}$ denota o conjunto de inteiros.) Proposto por Liam Baker, África do Sul