Q29 Matemática  (IMO Shortlist 2011)

Seja $p$ um número primo ímpar. Para cada inteiro $a,$ defina o número $S_a={\sum }_{j=1}^{p-1}\frac{a^j}{j}.$ Seja $m,n\in \mathbb{Z},$ tal que $S_3+S_4-3S_2=\frac{m}{n}.$ Prove que $p$ divide $m.$ Proposto por Romeo Meštrović, Montenegro