Q16 Matemática (IMO Shortlist 2011)

16 | IMO Shortlist | 2011 | Matemática

Seja $A_{1} A_{2} A_{3} A_{4}$ um quadrilátero não cíclico. Sejam $O_{1}$ e $r_{1}$ o circuncentro e o circumradius do triângulo $A_{2} A_{3} A_{4}$ . Defina $O_{2}, O_{3}, O_{4}$ e $r_{2}, r_{3}, r_{4}$ de maneira semelhante. Prove que $\frac{1}{O _{1} A _{1}^{2} - r _{1}^{2}} + \frac{1}{O _{2} A _{2}^{2} - r _{2}^{2}} + \frac{1}{O _{3} A _{3}^{2} - r _{3}^{2}} + f r a c 1 O_{4} A_{4}^{2} - r_{4}^{2} = 0.$ Proposto por Alexey Gladkich, Israel