Q10 Matemática  (IMO Shortlist 2011)

Seja $\mathcal{S}$ um conjunto finito de pelo menos dois pontos no plano. Suponha que três pontos de $\mathcal{S}$ não sejam colineares. Um moinho de vento é um processo que começa com uma linha $\ell$ passando por um único ponto $P\in \mathcal{S}$. A linha gira no sentido horário em torno do pivô $P$ até a primeira vez que a linha encontra algum outro ponto pertencente a $\mathcal{S}$. Este ponto, $Q$, assume como o novo pivô, e a linha agora gira no sentido horário em torno de $Q$, até encontrar um ponto de $\mathcal{S}$. Este processo continua indefinidamente. Mostre que podemos escolher um ponto $P$ em $\mathcal{S}$ e uma reta $\ell$ passando por $P$ tal que o moinho de vento resultante use cada ponto de $\mathcal{S}$ como pivô infinitas vezes. Proposto por Geoffrey Smith, Reino Unido