Q26 Matemática  (IMO Shortlist 2010)

Sejam $a,b$ inteiros e $P(x)=a{x}^3+bx.$ Para qualquer inteiro positivo $n$ dizemos que o par $(a,b)$ é $n$-bom se $n|P(m)-P(k)$ implica $n|m-k$ para todos os inteiros $m,k.$ Dizemos que $(a,b)$ é $muitobom$ se $(a,b)$ é $n$-bom para infinitos inteiros positivos $n.$ (a) Encontre um par $(a,b)$ que seja 51-bom, mas não muito bom. (b) Mostre que todos os pares de 2010 bons são muito bons. Proposto por Okan Tekman, Turquia