Q15 Matemática  (IMO Shortlist 2010)

Sejam $P_1,\dots ,P_s$ progressões aritméticas de inteiros, sendo satisfeitas as seguintes condições: (i) cada inteiro pertence a pelo menos um deles; (ii) cada progressão contém um número que não pertence a outras progressões. Denote por $n$ o mínimo múltiplo comum das razões dessas progressões; deixe $n=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_k^{{\alpha }_k}$ sua fatoração prima. Prove que $$s\ge 1+\sum _{i=1}^k{\alpha }_i(p_i-1).$$ Proposto por Dierk Schleicher, Alemanha